prova de tópicos de álgebra linear

postando a solução da primeira prova de álgebra linear.

Seja A uma matriz não singular com $n \times n$ entradas reais. para $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$, defina $f(x) := \frac{Ax}{|| A x ||}$.

a) seja $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$. prove que se $L := \lim_{n\rightarrow \infty} f^n(x)$ então $L$ é um autovetor de $A$.

primeiramente definindo $\alpha(x) := Ax$ e $\beta(x) := ||Ax||$, deduzimos que $f$ é uma função contínua, pois $\alpha$ é contínua e $\beta$ é contínua e não se anula no domínio. por conta disso, $L$ é um ponto fixo de $f$, afinal $f(L) = f(\lim_{n\rightarrow \infty} f^n(x))$ e, pela contínuidade de $f$, temos $f(\lim_{n\rightarrow \infty} f^n(x)) = \lim_{n\rightarrow \infty} f \circ f^n(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f^n(x) = L$. substituindo este fato na definição de $f$

$$\frac{AL}{|| A L ||} = L$$ $$AL = || A L || \cdot L$$

e concluímos que $L$ é um autovetor de $A$.

b) dê um exemplo para $n = 2$ em que o limite do item anterior não existe.

um exemplo é

$$ A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} $$

porque para todo $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$ e $n \in \mathbb{N}^{*}$ temos que $||f^{n+1}(v) - f^n(v)|| = 1/\sqrt{2}$. sendo esse o caso, a sequência não é uma sequência de cauchy e portanto não converge.

c) Suponha que $A > 0$ e suponha que $\lambda_1, …, \lambda_n$ sejam os autovalores de $A$, associados aos respectivos autovetores $v_1, …, v_n$ com $|\lambda_1| > … > |\lambda_n|$. Seja $x = v_1 + … + v_n$, prove que $L := \lim_{n \rightarrow \infty} f^n(x)$ existe e possui todas as coordenadas positivas. O Teorema de Perron pode ser útil para este item.

primeiramente, podemos assumir sem perda de generalidade que $\lambda_n = 1$, porque múltiplos escalares de $A$ produziriam a mesma $f$. afirmo que

$$f^n(x) = \frac{A^n x}{|| A^n x||}$$

de fato o caso $n = 1$ é consequência direta da definição, e, supondo que a fórmula vale para $n$,

$$f^{n+1}(x) = f\left( \frac{ Ax }{|| Ax ||}\right)$$ $$f^{n+1}(x) = \frac{A \frac{ Ax }{|| Ax ||} }{ \left|\left| A\frac{Ax}{|| Ax ||} \right|\right| }$$ $$f^{n+1}(x) = \frac{A^{n+1} x}{|| A^{n+1} x||}$$

concluímos que ela vale para $n+1$. por indução, portanto, a fórmula vale para todo $n$. abrindo a definição de $x$

$$f^n(x) = \frac{A^n \sum_{i} v_i}{|| A^n \sum_{i} v_i||}$$ $$f^n(x) = \frac{\sum_{i} A^n v_i}{|| \sum_{i} A^n v_i||}$$ $$f^n(x) = \frac{\sum_{i} \lambda_i^n v_i}{|| \sum_{i} \lambda_i^n v_i||}$$

como $|\lambda_i| < 1$ para $i \neq n$, o limite $\lim_{n\rightarrow\infty} \lambda_i^n = 0$ para $i \neq n$. isso significa que

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} f^n(x) = \frac{v_n}{|| v_n||}$$

como $v_i$ é um autovetor associado ao autovalor de maior módulo, o teorema de perron garante que ele é positivo.