Enunciado

Seja $u$ um vetor unitário num espaço real com produto interno $V$. Defina $T(x) = x - 2\langle x, u \rangle u$.

a) Mostre que $T$ é um operador linear e uma isometria.

b) Encontre $\mathrm{det}(T)$ no caso em que $\mathrm{dim}(V) < \infty$.

Resolução

a) Para mostrar que é um operador linear vamos mostrar que para todo $u$, vale $T(x + \alpha y) = T(x) + \alpha T(y)$.

De fato $$T(x + \alpha y) = x + \alpha y - 2\langle x + \alpha y, u \rangle u$$ $$= x + \alpha y - 2\langle x, u \rangle u - 2\langle \alpha y, u \rangle u$$ $$= x - 2\langle x, u \rangle u + \alpha y - 2\langle \alpha y, u \rangle u$$ $$= x - 2\langle x, u \rangle u + \alpha \left(y - 2\langle y, u \rangle u\right)$$ $$= T(x) + \alpha T(y)$$

Para mostrar que é uma isometria vamos mostrar que, para todo $y$ $\in V$, vale que $\langle T(y), T(y) \rangle = \langle y, y \rangle$

$$ \langle T(y), T(y) \rangle = \langle y - 2\langle y, u \rangle u, y - 2\langle y, u \rangle u \rangle$$ $$ = \langle y, y\rangle + \langle y, - 2\langle y, u \rangle u \rangle + \langle - 2\langle y, u \rangle u, y\rangle + \langle - 2\langle y, u \rangle u, - 2\langle y, u \rangle u \rangle$$

$$ = \langle y, y\rangle - 2\langle y, u \rangle \langle y, u \rangle - 2\langle y, u \rangle \langle u, y\rangle + \langle - 2\langle y, u \rangle u, - 2\langle y, u \rangle u \rangle$$

$$ = \langle y, y\rangle - 2\langle y, u \rangle \langle y, u \rangle - 2\langle y, u \rangle \langle u, y\rangle + 4\langle y, u \rangle^2 \langle u, u \rangle$$

como $ \langle u, u \rangle = 1$, todos os termos além do primeiro se cancelam, e chegamos em

$$= \langle y, y \rangle$$

como queríamos demonstrar.

b) o determinante é invariante em relação a escolha de base, então vamos escolher uma base conveniente para calculá-lo. Primeiro observamos que, restrito ao espaço ortogonal de $u$, o operador $T$ é a função identidade. então, se definíssemos $n := \mathrm{dim}(V)$, e escolhêssemos uma base $\{e_1, e_2, …, e_{n-1}\}$ do espaço ortogonal de $u$, teríamos que $\{e_1, e_2, …, e_{n-1}, u\}$ seria umba base de $V$.

Nessa base, a matriz de $T$ seria. $$ A = \begin{bmatrix}1 & 0 & \dots \\ 0 & 1 \\ \vdots & & \ddots \\ & & & 1 & 0 \\ & & & 0 & -1\end{bmatrix} $$

portanto $\mathrm{det}(T) = -1$.